شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | نسبت و تناسب](https://dl2.my-dars.com/upload/image/01 (12)1740230200.jpg)
نسبت عدد a به عدد \(b \ne 0\) عبارت است از کسر \(\frac{a}{b}\) .
تساوی بین دو نسبت \(\frac{a}{b}\) و \(\frac{c}{d}\) یک تناسب نامیده می شود: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)
مثال
در تناسب های زیر، مقدار x و y را بیابید.
الف\(\frac{x}{{x + 2}} = \frac{3}{4}\)
\(4x = 3x + 6 \Rightarrow x = 6\)
ب\(\frac{3}{y} = \frac{y}{{27}}\)
\({y^2} = 3 \times 27 = 81 \Rightarrow y = \pm 9\)
در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\) ، عدد b میانگین هندسی دو عدد a و c نامیده می شود و مقدار آن از رابطه ی \({b^2} = ac\) به دست می آید.
مثال
میانگین هندسی دو عدد 4 و 25 را بیابید.
\({b^2} = 25 \times 4 = 100 \Rightarrow b = \pm 10\)
در هر مثلث، نسبت اندازه های هر دو ضلع، با عکس نسبت ارتفاع های وارد بر آن ها برابر است.
1) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) با عمل طرفین-وسطین تساوی \(ad = bc\) را خواهیم داشت.
2) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) می توان کسر ها را معکوس کرد و تناسب \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\) را به دست آورد.
3) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) می توان جای دو جمله ی میانی را عوض کرد و تناسب \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) را به دست آورد.
4) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) می توان در ترکیب صورت تناسب \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\) و در ترکیب مخرج تناسب \(\frac{a}{{b + a}} = \frac{c}{{d + c}}\) می توان بدست آورد.
5) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) می توان در تفضیل صورت تناسب \(\frac{{a - b}}{b} = \frac{{c - d}}{d}\) و در ترکیب مخرج تناسب \(\frac{a}{{b - a}} = \frac{c}{{d - c}}\) می توان بدست آورد.
6) \(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\\\frac{c}{d} = \frac{e}{f}\\ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\end{array}\)
7) \(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k\\ \Rightarrow \frac{{a + c}}{{b + d}} = k{\rm{ }},{\rm{ }}\frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = k\end{array}\)
مثال
اگر \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}} = 5\) باشد، مقدار \(\frac{{2a + 3b - 4c}}{{2a' + 3b' - 4c'}}\) را بیابید.
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}} = 5 \Rightarrow \frac{{2a}}{{2a'}} = \frac{{3b}}{{3b'}} = \frac{{ - 4c}}{{ - 4c'}} = 5\\\\ \Rightarrow \frac{{2a + 3b - 4c}}{{2a' + 3b' - 4c'}} = 5\end{array}\)
1 هر گاه اندازه های ارتفاع های دو مثلث برابر باشند، نسبت مساحت های آن ها برابر است با نسبت قاعده های نظیر آن ارتفاع ها.
2 اگر دو مثلث یک راس مشترک داشته باشند و قاعده ی مقابل به این راس در دو مثلث روی یک خط راست قرار داشته باشد، نسبت مساحت های آن ها برابر است با نسبت قاعده های آن ها.
3 اگر دو مثلث، قاعده ی مشترکی داشته باشند و راس های رو به روی این قاعده ی مشترک، روی یک خط موازی این قاعده باشند، مثلث ها هم مساحت اند.
1 اگر \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{6} = \frac{3}{5}\) باشد، حاصل \(x + y + z\) را به دست آورید.
\(\begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{6} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 6}} = \frac{3}{5}\\\\ \Rightarrow x + y + z = \frac{{3 \times 11}}{5} = \frac{{33}}{5}\end{array}\)
2 طول پاره خطی را به دست آورید که واسطه ی هندسی بین دو پاره خط به طول های 8 و 10 سانتی متر است.
\({b^2} = 8 \times 10 = 80 \Rightarrow b = \sqrt {80} \Rightarrow b = 4\sqrt 5 \)
3 طول های اضلاع مثلثی 4 و 6 و 8 سانتی متر هستند و بلند ترین ارتفاع آن \(\frac{{3\sqrt {15} }}{2}\) سانتی متر است. طول های دو ارتفاع دیگر مثلث را به دست آورید.
بلند ترین ارتفاع بر کوتاه ترین ضلع وارد می شود:
\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{{3\sqrt {15} }}{2} = \frac{1}{2} \times 6 \times {h_2} \Rightarrow {h_2} = \sqrt {15} \\\\\frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt {15} = \frac{1}{2} \times 8 \times {h_3} \Rightarrow {h_3} = \frac{{6\sqrt {15} }}{8} = \frac{{3\sqrt {15} }}{4}\end{array}\)
تهیه کننده: سید ابوذر حسینی
1736019749.png)
